Известно знаменитое правило квантования Нильса Бора

mvr = Ћn, (1)

где m и v - соответственно масса и скорость в данном случае электрона, r -радиус его орбиты; h -постоянная Планка, n = 1,2,3,…(главное квантовое число).

Заменим в нем (1) скорость v на A -вектор-потенциал, из выражения

v = (e/mc)A (2)

Примечание : электронно-волновая связь (2) может быть получена из потенциалов Лиенара-Вихерта [6] при условии, что электрон – это сферическое тело, размер которого определен его классическим радиусом r = e²/mc² , а вектор-потенциал A соприкасается с поверхностью электрона в точках его экватора, возникающего при центральном сечении плоскостью, перпендикулярной скорости электрона. Указанное условие применимо и к выражениям (65.5) и (38.5) [6], и лишь в последнем следует положить t = 0, так как волна де Бройля уже «сидит = неподвижна» на движущемся электроне.

Выполнив подстановку (2) в (1), получим

2пrA = (hc/e)n (3)

Здесь с левой стороны -- циркуляция вектора-потенциала (ВП) A по орбите электрона, а справа -- квант магнитного потока, умноженный на главное квантовое число.

Если в известную формулу де Бройля

L = h/mv (4) подставить (2), то получим

LА = hc/e (5)

Сравнивая (5) с (3), замечаем, что волна де Бройля и в атоме водорода при n = 1, и «сидящая» на свободно движущемся электроне обладают одним квантом магнитного потока. Больше того, у них одинаковы и левые части при указанном условии

L = 2пr (6)

Это значит, что длина волны де Бройля, «сидящей» на свободном электроне, и на электроне, вращающемся по нижней орбите атома водорода, одинаковы. Следовательно, если доказать, что эти равные длины – не просто длины, а замкнутые контуры (окружности), по которым исчисляются поверхностные циркуляции вектора-потенциала, то можно утверждать, что и их поверхностные циркуляции ВП равны. Покажем это. Для этого в (4) вместо скорости подставим ее значение, полученное еще Н. Бором для атома водорода

v = e²/Ћn (7)

Найдем

L = (hЋ/me²)n (8)

Умножим обе части (8 ) на n , а правую часть умножим и разделим на 2 п . В результате получим

Ln = 2п r_n = (Ћn)²/me² , (9)

Откуда видно, что действительно при n =1 они равны, т.е. длина волны де Бройля свободного электрона, движущегося со скоростью, равной скорости электрона, вращающегося на нижней орбите атома водорода, равна длине волны де Бройля последнего (6). Следовательно, у них одинаковы и циркуляции ВП. А так как их циркуляции поверхностные и охватывают каждая по одному кванту магнитного потока, то нет иной альтернативы кроме как признать, что их кванты магнитного потока замкнуты каждая сама на себя, т.е. они тороидальны по конфигурации.

И (7 ) и (9 ) были получены благодаря (1) из равенства центробежной силы и силы электростатического притяжения между электроном и протоном (ядром) атома водорода

mv²/r = (e/r)² (10)

Умножим числитель и знаменатель правой части на векторный потенциал А и 2п, получим

mv²/r = 2пe(eA)/r(2пrA) (11)

Циркуляция ВП, высветившаяся в знаменателе правой части (11), свидетельствует о том, что поверхностная циркуляция векторного потенциала равносильна центробежной силе. Это как раз и значит, что поверхностная циркуляция векторного потенциала обладает свойством «обруча» = «твердой стенки» или, иначе говоря, стягивающим свойством.

Заметим: Так как правую часть (11) мы умножили и разделили на одно и тоже число А , то тем самым признали, что вся правая часть от величины А не зависит. Однако при этой операции удалось высветить, вытащить «на свет», циркуляцию (2пrA) и тем самым показать, что центробежной силе противостоит и поверхностная циркуляция ВП. Все это слишком необычно, чтобы понять, что свойство «обруча» не прибавляется (не аддитивно ) к силе электростатического притяжения, а дополняет ее совершенно новым качеством, свойством.

И еще. Можно было бы умножить и разделить правую часть (11) еще раз на 2пА. Тогда

mv²/r = (2пeA)²/ (2пrA)² ,

где, как не сложно в этом убедиться,

eА = hv

v - частота.

Итак, нам удалось это показать на примере электродинамики.